第1章 函数极限与连续（基础篇）#

1. 函数 $f(x)=x^{2}\tan x\cdot e^{\cos x}$ 是（）. (A) 有界函数　(B) 单调函数　(C) 周期函数　(D) 奇函数

2. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $[0,2]$ 上 $f(x)=x(x^{2}-4)$，若对任意的 $x$ 都满足 $f(x)=-\frac12 f(x+2)$，写出 $f(x)$ 在 $[-2,0)$ 上的表达式。

3. 设函数 $f(x)=\begin{cases}1-2x^{2},&x<-1,\\ x^{3},&-1\leqslant x\leqslant2,\\ 12x-16,&x>2.\end{cases}$ 写出 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 的表达式。

4. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$，且 $f(x)=x,\ x\in[0,\pi)$，求 $f(x)$ 在 $[\pi,3\pi)$ 上的表达式。

5. 当 $x\to0$ 时，$e-e^{\cos x}$ 是 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 的（）. (A) 高阶无穷小　(B) 低阶无穷小　(C) 同阶但非等价无穷小　(D) 等价无穷小

6. 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，且 $\lim_{x\to1}\frac{x-f(x-1)-1}{\ln x}=1$，则以下结论： ① $f(0)=0$；② $\lim_{x\to0}f(x)=0$；③ $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$；④ 当 $x\to0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小。 所有正确结论的序号为（）. (A) ①②　(B) ②④　(C) ③④　(D) ②③

7. 已知当 $x\to0$ 时，$ax^{3}$ 与 $\sqrt{1+x^{2}}-x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right)+b$ 为等价无穷小，则 $ab=$ ____.

8. 设 $\lim_{x\to0}\frac{\sin2x+xf(x)}{x^{3}}=1$，则 $\lim_{x\to0}\frac{2\cos x+f(x)}{x^{2}}=$（）. (A) 0　(B) $-\frac23$　(C) $\frac43$　(D) $\infty$

9. $\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-x\arctan x}{e^{x}+x}=$（）. (A) 1　(B) $\frac{\pi}{2}$　(C) 0　(D) 不存在

10. $\lim_{x\to+\infty}x\left(2^{\frac1x}-3^{\frac1x}\right)=$ ____.

11. $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\left(x-\frac52 x^{2}\right)}{x^{2}}=$ ____.

12. $\lim_{x\to0}\left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}=$ ____.

13. 设 $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{3}+ax^{2}-3x+6}{x+2}=b$，求常数 $ab$ 的值。

14. $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2}-x\ln(1+x)}=$ ____.

15. $\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^{x})\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=$ ____.

16. $\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac1x+\sin\frac1x\right)^{\frac{x}{2}}=$ ____.

17. $f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 ____.

18. 已知 $\lim_{x\to1}f(x)$ 存在，且 $f(x)=x^{2}+e^{x}\lim_{x\to1}f(x)$，则 $f(x)=$ ____.

19. 设 $f(x)=\frac{e^{x}+xe^{x}}{e^{x}-1}-\frac1x$ 在 $x=0$ 处连续，则应补充 $f(0)=$ ____.

20. 设 $f(x)=\frac{1-x\cdot2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}\ (x\neq1,2)$，若 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，则 $f(1)f(2)=$ ____.

21. 函数 $f(x)=\frac{|x|^{x}-1}{x(x+1)\ln|x|}$ 的可去间断点的个数为（）. (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 3

22. 函数 $f(x)=\frac{\ln|1-x|}{(e^{x}-1)(x+2)}$ 的第二类间断点的个数为（）. (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 3

23. 设 $f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（）. (A) 可去间断点　(B) 跳跃间断点　(C) 振荡间断点　(D) 无穷间断点