第16章 无穷级数（基础篇）#

1. 设正项数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$，则”$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{c_{n}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{n}}{b_{n}}$ 均收敛”是”$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛”的（）. (A) 充分必要条件　(B) 充分非必要条件　(C) 必要非充分条件　(D) 既非充分又非必要条件

2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln\frac1n-\ln\sin\frac1n\right)$ 的敛散性。

3. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}nu_{n}$ 绝对收敛，则（）. (A) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$ 条件收敛　(B) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$ 绝对收敛 (C) $\sum_{n=1}^{\infty}[u_{n}+(-1)^{n}]$ 条件收敛　(D) $\sum_{n=1}^{\infty}[u_{n}+(-1)^{n}]$ 绝对收敛

4. 以下结论正确的是（）. (A) 若 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{3}$ 收敛 (B) 若 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{3}$ 发散 (C) 若 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{3}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{4}$ 收敛 (D) 若 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{3}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{4}$ 发散

5. 设 $u_{n}=\sqrt{\arctan(n+k)-\arctan n}$，$k$ 为正常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$（）. (A) 绝对收敛　(B) 条件收敛　(C) 发散　(D) 敛散性与 $k$ 有关

6. 设 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_{n})$ 收敛，则下列级数中收敛的是（）. (A) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_{n}}{n}$　(B) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{u_{n}}$　(C) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)$　(D) $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2})$

7. 设函数 $y=y(x)$ 满足 $(1-x)y'+2y=0,\ y(0)=1$，$a_{n}(x)=\int_{0}^{x}y(t)\sin^{n}t\,\mathrm{d}t,\ n=1,2,\cdots$。 (1) 求 $y(x)$ 的表达式； (2) 证明 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(1)$ 收敛。

8. 设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为 $(-3,1)$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-1)^{2n}$ 的收敛区间为 ____.

9. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}e^{-nx}$ 的收敛域为 ____.

10. 设函数 $f(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-1)^{n},\ x\in(0,2)$，则 $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}a_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=$ ____.

11. 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^{\frac{n}{2}}}{n}$ 在 $(0,1]$ 内的和函数 $S(x)=$ ____.

12. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n}}=$ ____.

13. 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}+2}{2^{n}(2n+1)}x^{2n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$。

14. 设 $f(x)=\begin{cases}x^{2},&0\leqslant x\leqslant\frac12,\\ x-1,&\frac12<x<1,\end{cases}$ $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n\pi x$，其中 $b_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\sin n\pi x\,\mathrm{d}x\ (n=1,2,\cdots)$，则 $S\left(-\frac52\right)=$（）. (A) $\frac18$　(B) $\frac14$　(C) $-\frac18$　(D) $-\frac14$

15. 设 $f(x)=\sin x$，若 $f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx,\ x\in[0,\pi]$，则 $\lim_{n\to\infty}n^{2}\ln(1+a_{2n})=$ ____.

16. 已知 $f(x)=|x|,\ -\pi\leqslant x\leqslant\pi$。 (1) 将 $f(x)$ 展开成余弦级数； (2) 求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$。

17. 设级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内的和函数是微分方程 $y'-\frac{y}{6}=\frac{xy^{7}}{6}$ 的一个解，求该级数的和函数。