第17章 多元函数积分学的预备知识（基础篇）#

1. 已知函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,\ f_{x}'(0,0)=1,\ f_{y}'(0,0)=-1$，且 $n=(-1,1,1)$，则 $\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{(x,y,f(x,y))\cdot n}{e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-1}=$ ____.

2. 设可微函数 $z=f(x,y)$ 的图形与 $xOy$ 面的交线方程为 $y=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\mathrm{d}t+x$，且 $f_{x}'(0,0)=1$，则 $f_{y}'(0,0)=$ ____.

3. 过点 $(1,0,1)$ 与 $(0,1,1)$ 且与曲面 $z=1+x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 ____.

4. 曲面 $z=2x+y+\ln(1+x^{2}+y^{2})$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为 ____.

5. 曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P(1,1,2)$ 处的切平面方程为 ____.

6. 已知曲面 $z=f(x,y)$ 由方程 $z-x\ln(1+z^{2})+e^{y}=0$ 所确定，则该曲面在点 $(0,0,-1)$ 处的切平面方程为 ____.

7. 求以 $M_{0}(1,1,1)$ 为顶点，以曲线 $C$（$C$ 是平面 $z=0$ 上 $y^{2}=x$ 被 $x=1$ 截下的有限部分）为准线的锥面方程。

8. 设函数 $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0),\end{cases}$ 则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿 $l=(1,1)$ 的方向导数是 ____.

9. 函数 $f(x,y)=2x^{2}+y^{2}$ 在点 $(0,1)$ 的最大方向导数为 ____.

10. 设 $f(x,y,z)=x^{2}e^{yz^{2}}$，则 $f(x,y,z)$ 在点 $(-1,0,1)$ 处的方向导数的最小值为 ____.

11. 设 $a,b$ 为实数，函数 $z=2+ax^{2}+by^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=i+2j$ 的方向导数最大，最大值为 10。求 $a,b$。

12. 设 $g(x,y)$ 是函数 $f(x,y)=x+2y+xy$ 在点 $(x,y)$ 处的最大方向导数。 (1) 求 $g(x,y)$ 的表达式； (2) 求 $g(x,y)$ 在曲线 $C:x^{2}+y^{2}=5$ 上的最大值。

13. 设可微函数 $z=z(x,y)$ 在平面上任一点 $(x,y)$ 处沿 $x$ 轴正向 $i$ 与 $y$ 轴正向 $j$ 的方向导数分别为 $[e^{-x}-f(x)]y$ 与 $f(x)$，其中 $f(x)$ 的一阶导数连续，且 $f(0)=1$。 (1) 求 $z(x,y)$ 的表达式； (2) 判断 $z(x,y)$ 是否有极值，若有，求之，若无，说明理由。

14. 设 $F(x,y,z)=xy\,i-y\cos z\,j+z\sin x\,k$，则 $\operatorname{rot}F\big|_{(1,1,0)}=$ ____.