第10章 一元函数积分学的应用（一）——几何应用（基础篇）#

1. 曲线 $y=\frac{1}{x^{2}+4x+5}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上与 $x$ 轴所围成图形的面积为 ____.

2. 曲线 $y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $[1,e^{2}]$ 上与 $x$ 轴所围图形的面积是 ____.

3. 如图所示，抛物线 $y=(\sqrt2-1)x^{2}$ 把 $y=x(b-x)\ (b>0)$ 与 $x$ 轴所围成的闭区域分为面积为 $S_{A}$ 与 $S_{B}$ 的两部分，则（）.

4. 过点 $(p,\sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线（见图），设该曲线与切线及 $y$ 轴所围成图形的面积为 $S_{1}$，曲线与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积为 $S_{2}$，则（）.

5. 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，若曲线 $y_{1}=f(x)$ 过点 $(0,0)$，且与曲线 $y_{2}=a^{x}\ (a>1)$ 在点 $(1,a)$ 处相切，$\int_{0}^{1}xf''(x)\mathrm{d}x=2\ln2-2$，则 $a=$ ____.

6. 设平面区域 $D$ 由曲线段 $y=\sin\pi x\ (0\leqslant x\leqslant1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 ____.

7. 已知函数 $f(x)=x\int_{1}^{x}\frac{e^{t^{2}}}{t}\mathrm{d}t$，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值为 ____.

8. 已知曲线 $L:y=e^{-x}\ (x\geqslant0)$，设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$V$ 是 $L$ 上从点 $A(0,1)$ 到点 $P$ 的一段弧绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积，当 $P$ 运动到点 $\left(1,\frac1e\right)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 1，求此时 $V$ 关于时间 $t$ 的变化率。

9. 曲线 $y=\ln\sin x\ \left(\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长为 ____.

10. 曲线 $r=e^{\theta}$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=1$ 的弧长为 ____.

11. 已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^{4}-6xy+3=0\ (1\leqslant y\leqslant2)$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 从点 $\left(\frac23,1\right)$ 到点 $\left(\frac{19}{12},2\right)$ 的长度为 ____.

12. 曲线 $y=e^{x}$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为（）. (A) $\int_{0}^{1}(\ln y-y\ln y)\mathrm{d}x$　(B) $\int_{0}^{1}(e^{x}-ex)\mathrm{d}x$　(C) $\int_{1}^{e}(\ln y-y\ln y)\mathrm{d}x$　(D) $\int_{1}^{e}(e^{x}-xe^{x})\mathrm{d}x$

13. 曲线 $y=x^{2}e^{-x}\ (0\leqslant x<+\infty)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为 ____.

14. $f(x)=x\ln x\ (0<x\leqslant2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ____.

15. 曲线 $y=\frac12 x^{2}\ (x\in[0,1])$ 的长度为 ____.

16. 设平面 $D$ 是由 $y=\ln x,\ x=1,\ y=1$ 围成的第一象限的有界区域，记 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积分别为 $V_{1},V_{2}$，则（）. (A) $V_{1}>\frac{\pi}{2}>V_{2}$　(B) $V_{2}>\frac{\pi}{2}>V_{1}$　(C) $\frac{\pi}{2}>V_{1}>V_{2}$　(D) $\frac{\pi}{2}>V_{2}>V_{1}$

17. 曲线 $y=x^{2}$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 ____.

18. 函数 $y=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 在区间 $[0,1]$ 的平均值为 ____.

19. 设 $P$ 为曲线 $\begin{cases}x=\cos t,\\ y=2\sin^{2}t,\end{cases}\ t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上的一点，该曲线与直线 $OP$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为 $S$，求函数 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$ 取得最大值时点 $P$ 的坐标。

20. 求常数 $a\ (a>0)$，使曲线 $y=a(1-x^{2})$ 与其在 $(-1,0)$ 及 $(1,0)$ 两点处的法线所围成图形的面积最小。