第4章 一元函数微分学的计算（基础篇）#

1. 设 $f(x)=x^{2}$，$h(x)=f[1+g(x)]$，其中 $g(x)$ 可导，且 $g'(1)=h'(1)=2$，则 $g(1)=$（）. (A) $-2$　(B) $-\frac12$　(C) 0　(D) 2

2. 设 $f(x)=(\ln x-1)(\ln^{2}x-2)\cdots(\ln^{n}x-n),\ n\geqslant2$，则 $f'(e)=$ ____.

3. 设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=-1$，$f'(0)=1$，若 $y(x)=|f(x-1)|$，则 $y'(1)=$ ____.

4. 设函数 $f(x)$ 可导，$f(1)=f'(1)=\frac14$，若 $y(x)=e^{\sqrt{f(2x-1)}}$，则 $y'(1)=$（）. (A) $\sqrt{e}$　(B) $\frac14\sqrt{e}$　(C) $\frac12\sqrt{e}$　(D) $2\sqrt{e}$

5. 已知函数 $y=y(x)$ 满足 $(x+y^{2})y'=1,\ y(-1)=0$，则 $\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|_{y=0}=$ ____.

6. 设 $y=f(x)$ 由方程 $|x|y^{3}+y-1=0$ 确定，求 $y=f(x)$ 的极大值。

7. 设 $\begin{cases}x=t-t^{2},\\ te^{y}+y+1=0,\end{cases}$ 则 $\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{t=0}=$ ____.

8. 设函数 $y=f(x)$ 由 $\begin{cases}x=2t+|t|,\\ y=|t|\tan t\end{cases}$ 所确定，则在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内（）. (A) $f(x)$ 连续，$f'(0)$ 不存在 (B) $f'(0)$ 存在，$f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 (C) $f'(x)$ 连续，$f''(0)$ 不存在 (D) $f''(0)$ 存在，$f''(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

9. 设可导的奇函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)=f^{2}(x)$，且 $f(-1)=1$，则 $f'''(1)=$ ____.

10. 设可导函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)=f^{2}(x)$，且 $f(0)=-1$，则在 $x=0$ 处的三阶导数 $f'''(0)=$（）. (A) $-6$　(B) $-4$　(C) 4　(D) 6

11. 已知函数 $f(x)=x^{2}\ln(1-x)$，则当 $n\geqslant3$ 时，$f^{(n)}(0)=$ ____.

12. 设 $f(t)=\lim_{n\to\infty}\cos t\cdot\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^{n}$，则 $f'(0)=$ ____.

13. 设 $f(x)=\lim_{t\to\infty}x\left(1+\frac1t\right)^{t\sin x}$，则 $f'(x)=$ ____.

14. 设 $f(x)=\max\{x,x^{2}\},\ 0<x<2$，则 $f'(x)=$ ____.

15. 曲线 $\begin{cases}x=e^{t}\sin2t,\\ y=e^{t}\cos t\end{cases}$ 在对应 $t=0$ 处的点的切线方程为 ____.

16. 设 $f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$，则 $f^{(n)}(x)=$（）. (A) $(n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ (B) $(n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ (C) $(n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ (D) $(n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$