第14章 二重积分（基础篇）#

1. 设 $x\geqslant0,\ y\geqslant0$，曲线 $l_{1}:x^{2}+y^{2}-xy=1$，$l_{2}:x^{2}+y^{2}-xy=2$，直线 $l_{3}:y=\frac{\sqrt3}{3}x$，$l_{4}:y=\sqrt3\,x$。区域 $D_{1}$ 由 $l_{1},l_{2},x=0,y=0$ 围成，$D_{2}$ 由 $l_{1},l_{2},l_{3},y=0$ 围成，$D_{3}$ 由 $l_{1},l_{2},l_{4},x=0$ 围成，则对于 $I_{i}=\iint_{D_{i}}\sqrt[3]{y-x}\,\mathrm{d}\sigma\ (i=1,2,3)$，有（）. (A) $I_{1}<I_{2}<I_{3}$　(B) $I_{3}<I_{1}<I_{2}$　(C) $I_{2}<I_{3}<I_{1}$　(D) $I_{2}<I_{1}<I_{3}$

2. $\lim_{r\to0}\frac{1}{\pi r^{2}}\iint_{x^{2}+y^{2}\leqslant r^{2}}e^{x^{2}-y^{2}}\cos(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$（）. (A) 0　(B) 1　(C) $\pi r^{2}$　(D) $\frac{1}{\pi r^{2}}$

3. 设 $D=\{(x,y)\mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\leqslant1\}$，$I_{i}=\iint_{D}f_{i}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$f_{i}(x,y)=(x+y)^{i}\ (i=1,2,3)$，则 $I_{1},I_{2},I_{3}$ 的大小顺序是（）. (A) $I_{3}<I_{2}<I_{1}$　(B) $I_{2}<I_{3}<I_{1}$　(C) $I_{1}<I_{3}<I_{2}$　(D) $I_{1}<I_{2}<I_{3}$

4. 设 $I=\iint_{x^{2}+y^{2}\leqslant1}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}\sigma$，$J=\iint_{|x|+|y|\leqslant1}\sin(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}\sigma$，$K=\iint_{|x|+|y|\leqslant1}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}\sigma$，则 $I,J,K$ 的大小关系是（）. (A) $I<J<K$　(B) $J<K<I$　(C) $K<I<J$　(D) $K<J<I$

5. 设 $D=\{(x,y)\mid1\leqslant x\leqslant2,\ 1\leqslant y\leqslant2\}$，则 $\iint_{D}(x-y)^{2}[\tan(x-y)+\sin(x-y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

6. $I=\int_{1}^{e}\mathrm{d}y\int_{0}^{\ln y}f(x,y)\mathrm{d}x$（其中 $f(x,y)$ 连续），交换积分次序得（）. (A) $I=\int_{0}^{\ln y}\mathrm{d}x\int_{1}^{e}f(x,y)\mathrm{d}y$　(B) $I=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{e^{x}}^{e}f(x,y)\mathrm{d}y$ (C) $I=\int_{1}^{e}\mathrm{d}x\int_{0}^{\ln y}f(x,y)\mathrm{d}y$　(D) $I=\int_{e^{x}}^{e}\mathrm{d}x\int_{0}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y$

7. $\int_{0}^{2}\mathrm{d}y\int_{2}^{y}\frac{y}{\sqrt{1+x^{3}}}\mathrm{d}x=$ ____.

8. $\int_{0}^{t}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{t}}\sqrt{1+x^{3}}\mathrm{d}x=$ ____.

9. 已知函数 $f(t)=\int_{1}^{t^{2}}\mathrm{d}x\int_{t}^{\sqrt{x}}\sin\frac{x}{y}\mathrm{d}y$，则 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ ____.

10. 已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin3\theta\ \left(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{3}\right)$，$D$ 为曲线 $L$ 围成的区域，则 $\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

11. 已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid |x|\leqslant y,\ (x^{2}+y^{2})^{3}\leqslant y^{4}\}$，则 $\iint_{D}\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

12. 设 $D$ 是第一象限内由三条曲线 $y=x^{2},\ y^{2}=x,\ x^{2}+y^{2}=1$ 所围成的以原点为一个顶点的曲边三角形，化二重积分为累次积分（先积 $y$，后积 $x$），则 $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

13. 设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{3(1-x^{2})}$ 与直线 $y=\sqrt3\,x$ 及 $y$ 轴所围成。计算二重积分 $\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

14. 设平面区域 $D=\{(x,y)\mid1\leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant4,\ x\geqslant0,\ y\geqslant0\}$，计算 $\iint_{D}\frac{x\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x+y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

15. 设 $D$ 是由 $y=|x|$ 及 $y=1$ 围成的有界区域，计算二重积分 $\iint_{D}\frac{x^{2}-x\cos y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

16. 计算二重积分 $\iint_{D}\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm{d}\sigma$，其中 $D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant y\}$。

17. 设平面区域 $D=\{(x,y)\mid x^{3}\leqslant y\leqslant1,\ -1\leqslant x\leqslant1\}$，$f(x)$ 是定义在 $[-a,a]\ (a\geqslant1)$ 上的任意连续函数，求 $\iint_{D}[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

18. 计算 $I=\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{y}^{\sqrt{2y-y^{2}}}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\mathrm{d}x$。

19. 计算 $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，其中 $D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\geqslant2x\}$，

20. 设平面区域 $D=\{(x,y)\mid x+y\leqslant1,\ x\geqslant0,\ y\geqslant0\}$，计算 $\iint_{D}\frac{e^{-(x+y)}}{\sqrt{xy}}\mathrm{d}\sigma$。

21. 已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid(x-1)^{2}+y^{2}\leqslant1\}$，计算二重积分 $I=\iint_{D}(x^{2}-3y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

22. 计算二重积分 $\iint_{D}(x+y^{2})\mathrm{d}\sigma$，其中 $D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant x+y\}$。

23. 计算二重积分 $I=\iint_{D}x[1+yf(x^{2}+y^{2})]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D$ 由曲线 $y=x^{3}$ 及直线 $y=1,\ x=-1$ 围成，$f(u)$ 为连续函数。

24. 计算 $\iint_{D}\sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 所包围的在第一象限内的区域。