第2章 数列极限（基础篇）#

1. $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{\pi}\arctan\frac{n}{n+1}\right)^{n}=$（）. (A) $e^{-\frac{2}{\pi}}$　(B) $e^{-\frac{\pi}{2}}$　(C) $\frac{\pi}{2}$　(D) $\frac{2}{\pi}$

2. $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}=$ ____.

3. 设 $\{a_{n}\}$ 非负有界，$b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{a_{k}+n^{2}}$，则 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=$ ____.

4. 设 $x_{0}>0,\ x_{n+1}=\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)\ (n=0,1,2,\cdots)$，且 $a>0$，证明 $\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 存在，并求此极限。

5. 当 $0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$ 时，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin^{n}x+\cos^{n}x}=$ ____.

6. $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^{3n}}=$ ____.

7. 设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln x_{n}+1,\ x_{n}>0,\ n=1,2,\cdots$，则 $\{x_{n}\}$（）. (A) 单调不减　(B) 单调不增　(C) 严格单增　(D) 严格单减

8. 若对于数列 $\{x_{n}\}$，存在常数 $k\ (0<k<1)$，使得 $|x_{n+1}-a|\leqslant k|x_{n}-a|,\ n=1,2,\cdots$。证明 $\{x_{n}\}$ 收敛于 $a$。

9. 若对于数列 $\{x_{n}\}$，$x_{n+1}=f(x_{n}),\ n=1,2,\cdots$，$f(x)$ 可导，$a$ 是 $f(x)=x$ 的唯一解，且对任意的 $x\in R$ 有 $|f'(x)|\leqslant k<1$。证明 $\{x_{n}\}$ 收敛于 $a$。

10. 设 $a_{n}>0$，$\lim_{n\to\infty}b_{n}=0$，且 $e^{a_{n}}+a_{n}=e^{b_{n}},\ n=1,2,\cdots$，求 $\lim_{n\to\infty}a_{n}$。

11. 设 $c=2\ln(1+b)$，$b>a>0$，且 $a$ 是方程 $x-2\ln(1+x)=0$ 的唯一非零解，证明 $c>a$。

12. 设单调递减数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n+1}=2\ln(1+x_{n}),\ n=1,2,\cdots$，$x_{1}>a>0$，且 $a$ 是 $x-2\ln(1+x)=0$ 的唯一非零解，证明 $\{x_{n}\}$ 收敛。