第3章 一元函数微分学的概念（基础篇）#

1. 设 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$，且 $f'(0)$ 存在，则 $\lim_{x\to0}\frac{f(1-\cos x)}{\ln(1-x\sin x)}=$ ____.

2. 设 $F(x)=g(x)\varphi(x)$，$\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续但不可导，$g(x)$ 在 $x=a$ 处可导，$F(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则一定有（）. (A) $g(a)=0$　(B) $g(a)\neq0$　(C) $g'(a)=0$　(D) $g(a)$ 可以为任意实数

3. 设连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{f(3-x)}=2$，且 $f(1)=0$，则 $f'(1)$ 的值为（）. (A) 2　(B) $-2$　(C) $\frac12$　(D) $-\frac12$

4. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=f'(0)=\sqrt2$，则 $\lim_{x\to0}\frac{f^{2}(x)-2}{x}=$ ____.

5. 设 $f(x)$ 满足：$f(x)=\frac{1}{n^{2}}$，$\frac{1}{(n+1)^{2}}<x\leqslant\frac{1}{n^{2}}$，$n=1,2,\cdots$，且 $f(0)=0$，则 $f_{+}'(0)=$ ____.

6. 设可导函数 $f(x)>0$，则 $\lim_{n\to\infty}n\ln\frac{f\left(\frac1n\right)}{f(0)}=$ ____.

7. 设函数 $f(x)$ 可导，$|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，则（）. (A) $f(0)=0,\ f'(0)=0$　(B) $f(0)=0,\ f'(0)\neq0$　(C) $f(0)\neq0,\ f'(0)=0$　(D) $f(0)\neq0,\ f'(0)\neq0$

8. 设函数 $f(x)$ 连续，$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{\ln x}=2$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 ____.

9. 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\Delta f(1)$ 是 $f(x)$ 在增量为 $\Delta x$ 时的函数值增量，则 $\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f(1)-df(1)}{\Delta x}=$（）. (A) $f'(1)$　(B) 1　(C) $\infty$　(D) 0

10. 设 $f(x)=\begin{cases}x^{3}\sin\frac1x,&x>0,\\ x^{2},&x\leqslant0,\end{cases}$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（）. (A) 不连续　(B) 连续，但不可导　(C) 可导，但导函数不连续　(D) 可导，且导函数连续

11. 设 $\varphi(x)$ 具有一阶连续导数，$f(x)=\varphi(x)[1+|\ln(1+x)|]$，则 $\varphi(0)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（）. (A) 充分必要条件　(B) 充分非必要条件　(C) 必要非充分条件　(D) 既非充分又非必要条件

12. 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$x_{n}=\sin\frac1n+\frac1{n^{2}}$，则 $\lim_{n\to\infty}\frac{f\left(x_{0}+\frac1n\right)-f(x_{0}-x_{n})}{\sin\frac1n}=$ ____.

13. 设 $f(x)$ 为在 $x=0$ 处可导的奇函数，则 $\lim_{x\to0}\frac{f(tx)-5f(x)}{x}=$ ____.

14. 设 $f(x)=\max\{2x,x^{2}\},\ x\in(0,4)$，且 $f'(a)$ 不存在，$a\in(0,4)$，则 $a=$ ____.

15. 设 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2}e^{n(x-1)}+ax+b}{5+e^{n(x-1)}}$，求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的连续性及可导性与 $a,b$ 的关系。

16. 已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x+b,&x\leqslant0,\\ \ln(1+ax),&x>0\end{cases}$ 处处可导，试确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，并求出 $f'(x)$。