第5章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用（基础篇）#

1. 函数 $y=e^{x}+\frac{e^{-x}}{2}$ 的最小值为 ____.

2. 若函数 $f(x)=e^{-ax}-ex$ 的极值点小于零，则常数 $a$ 的取值范围为 ____.

3. 设函数 $f(x)=\begin{cases}\cos|x|-1,&x\leqslant0,\\ x\ln x,&x>0,\end{cases}$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（）. (A) 可导点，极值点　(B) 不可导点，极值点　(C) 可导点，非极值点　(D) 不可导点，非极值点

4. 已知 $x^{2}+ax^{-3}\geqslant\frac{10}{3}\ (x>0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为 ____.

5. 已知函数 $y=f(x)$ 连续，其二阶导函数的图像如图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为（）.

6. 设函数 $f(x)>0$ 且二阶可导，曲线 $y=\sqrt{f(x)}$ 有拐点 $(1,\sqrt2)$，$f'(1)=2$，则 $f''(1)=$ ____.

7. 曲线 $y(x)=\ln\left|e^{2x}-1\right|$ 的斜渐近线为（）. (A) $y=2x+\frac1e$　(B) $y=2x$　(C) $y=-2x+\frac1e$　(D) $y=-2x$

8. 曲线 $y=x\ln\left(e+\frac1x\right)$ 的斜渐近线为（）. (A) $y=x+e$　(B) $y=x-e$　(C) $y=x+\frac1e$　(D) $y=x-\frac1e$

9. 曲线 $x^{2}-xy+y^{2}=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为 ____.

10. 已知曲线 $y=f(x)$ 在其点 $(0,1)$ 处的曲率圆方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=2$，且当 $x\to0$ 时，二阶可导函数 $f(x)$ 与 $a+bx+cx^{2}$ 的差为 $o(x^{2})$，则（）. (A) $a=0,\ b=1,\ c=\frac32$　(B) $a=1,\ b=0,\ c=1$　(C) $a=1,\ b=1,\ c=-1$　(D) $a=1,\ b=0,\ c=-1$

11. 设在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $f''(x)<0$，$f(0)\geqslant0$，则函数 $\frac{f(x)}{x}$（）. (A) 在 $(-\infty,0)$ 内单调减少，在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 (B) 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调减少 (C) 在 $(-\infty,0)$ 内单调增加，在 $(0,+\infty)$ 内单调减少 (D) 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调增加

12. 设 $f(x)$ 连续，且 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=k\ (k<0)$，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处（）. (A) 导数不存在　(B) 导数存在，且 $f'(0)\neq0$　(C) 取得极小值　(D) 取得极大值

13. 设 $M=\max\{1,\sqrt2,\sqrt[3]{3},\cdots,\sqrt[n]{n}\}\ (n>4)$，则 $M=$（）. (A) $\sqrt2$　(B) $\sqrt[3]{3}$　(C) $\sqrt[4]{4}$　(D) $\sqrt[n]{n}$

14. 设函数 $f(x)=n^{2}e^{\frac{x}{n}}-(1+n)x$，若 $f(x)$ 在 $x=\xi_{n}$ 处取得极值，则 $\lim_{n\to\infty}\xi_{n}=$ ____.

15. 函数 $f(x)$ 对于一切实数 $x$ 满足微分方程

(1) 若 $x=\alpha\ (\alpha\neq0)$ 时 $f(x)$ 取极值，判别其是极大值还是极小值； (2) 若 $x=0$ 时 $f(x)$ 取极值，判别其为极大值还是极小值。

16. 设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，$f(x)$ 具有一阶连续导数，且满足 $\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=-3$，$f'(x)=\ln(1+x^{2})-x\int_{0}^{1}g(xt)\mathrm{d}t$，则（）. (A) $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点　(B) $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点 (C) $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点　(D) 以上结论均不正确

17. 已知函数 $y=f(x)$，对一切 $x$ 满足 $\sqrt[3]{x}\,f''(x)+xf'(x)=e^{-x}-1$，若 $f'(x_{0})=0\ (x_{0}\neq0)$，则（）. (A) $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点　(B) $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点 (C) $(x_{0},f(x_{0}))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点　(D) 以上结论均不正确

18. 已知函数 $f(x)=ax^{3}+x^{2}+2$ 在 $x=0$ 和 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的增减区间、极大值、极小值和拐点。

19. 设 $f(x)=nx(1-x)^{n}\ (n\in\mathbb{N}^{*})$，且记 $M(n)=\max_{x\in[0,1]}f(x)$，则必有（）. (A) $\lim_{n\to\infty}M(n)=e$　(B) $\lim_{n\to\infty}M(n)=\frac1e$　(C) $\lim_{n\to\infty}M(n)=0$　(D) $\lim_{n\to\infty}M(n)=\infty$

20. 曲线 $y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 的渐近线的条数为（）. (A) 4　(B) 3　(C) 2　(D) 1

21. 曲线 $y=\frac{2+e^{-x^{4}}}{1-e^{-x^{4}}}$（）. (A) 仅有斜渐近线　(B) 仅有水平渐近线　(C) 仅有铅直渐近线　(D) 既有水平渐近线，又有铅直渐近线

22. 曲线 $y=(4+5x)e^{-\frac1x}$ 的斜渐近线是 ____.

23. 曲线 $y=x^{2}+x$ 在点 $(-1,0)$ 的曲率是 ____.