第6章 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式（基础篇）#

1. 设函数 $f(x)=x(2x-3)(4x-5)$，则方程 $f'(x)=0$ 的实根个数为（）. (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 3

2. 若方程 $x-\ln x-k=0$ 在 $(0,1]$ 上有解，则 $k$ 的最小值为（）. (A) $-1$　(B) $\frac1e$　(C) 1　(D) $e$

3. 设函数 $f(x)=ae^{x}-bx\ (a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）. (A) $\left(0,\frac1e\right)$　(B) $(0,e)$　(C) $\left(\frac1e,+\infty\right)$　(D) $(e,+\infty)$

4. 已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+a\ (x>0)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）. (A) $(-1,0)$　(B) $(0,1)$　(C) $(-\infty,0)$　(D) $(0,+\infty)$

5. 设存在 $0<\theta<1$，使得 $\arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^{2}}},\ -1\leqslant x\leqslant1$，则 $\lim_{x\to0}\theta=$ ____.

6. 设 $x>0$，证明 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$。

7. 设 $x>0$，证明 $\frac{1}{1+x}<\ln\left(1+\frac1x\right)<\frac1x$。

8. 设函数 $f(x)$ 可导，且 $|f'(x)|\leqslant1,\ f(0)=1$，证明 $|f(x)|\leqslant1+x,\ 0<x<1$。

9. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)\ (a>0)$ 上一阶导数连续，$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$，则（）. (A) $\lim_{x\to+\infty}[f(2x)+f(x)]=0$　(B) $\lim_{x\to+\infty}[f(2x)-f(x)]=0$ (C) $\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$　(D) $\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)+f(x)]=0$

10. 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处一阶导数连续，且 $f'(1)=2$，则 $\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=$ ____.

11. 设 $f'(1)=2$，计算 $\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}$，并指出与第 10 题的区别。

12. (1) 将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式； (2) 证明 $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|\leqslant\frac12|x|,\ x\neq0$。

13. 求曲线 $y=e^{-\frac{x}{2}}$ 与曲线 $y=x^{3}-3x$ 的交点个数。

14. 设 $f(x)$ 是连续可导函数，当 $0<a<x<b$ 时，恒有 $xf'(x)<f(x)$，则（）. (A) $af(x)>xf(a)$　(B) $bf(x)>xf(b)$　(C) $xf(x)>bf(b)$　(D) $xf(x)<af(a)$

15. 方程 $x^{4}+4x+b=0$ 有两个不等的实根，则 $b$ 的取值满足（）. (A) $b<3$　(B) $b>3$　(C) $b<-3$　(D) $b>-3$

16. 设常数 $k>0$，函数 $f(x)=\frac{1}{\ln x-\frac{x}{e}+k}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的间断点个数为（）. (A) 3　(B) 2　(C) 1　(D) 0

17. 设 $f(x),g(x)$ 为恒大于零的可导函数，且 $f'(x)g(x)<f(x)g'(x)$，则当 $a<x<b$ 时，下列不等式恒成立的是（）. (A) $f(a)g(x)>f(x)g(b)$　(B) $f(x)g(a)>f(b)g(x)$　(C) $f(a)g(b)>f(b)g(x)$　(D) $f(x)g(b)>f(b)g(x)$

18. 设 $0\leqslant x\leqslant1,\ p>1$，证明 $\frac{1}{2^{p-1}}\leqslant x^{p}+(1-x)^{p}\leqslant1$。

19. 对于 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x^{3}-3x+k=0$ 实根的个数，并证明你的结论。

20. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导 $(a>0)$，证明：在 $(a,b)$ 内

至少有一个实根。

21. 设 $a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$（$a_{i}$ 为实数，$i=0,1,2,\cdots,n$），则在区间 $(0,1)$ 内，方程 $a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}=0$（）. (A) 没有实根　(B) 至少有一个实根　(C) 仅有一个实根　(D) 是否有实根不能判定

22. 设 $f(x),g(x)$ 为恒大于零的可导函数，且 $[\ln f(x)]'<[\ln g(x)]'$，则当 $a<x<b$ 时，必有（）. (A) $\frac{f(x)}{f(b)}>\frac{g(x)}{g(b)}$　(B) $\frac{f(x)}{f(a)}>\frac{g(x)}{g(a)}$　(C) $\frac{f(x)}{f(b)}>\frac{g(b)}{g(x)}$　(D) $\frac{f(x)}{f(a)}>\frac{g(a)}{g(x)}$