第8章 一元函数积分学的概念与性质（基础篇）#

1. 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=$（）. (A) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{3k-1}{3n}\right)\frac{1}{3n}$ (B) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{3k-1}{3n}\right)\frac{1}{n}$ (C) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{3n}f\left(\frac{k-1}{3n}\right)\frac{1}{n}$ (D) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{3n}f\left(\frac{k}{3n}\right)\frac{3}{n}$

2. $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^{n}\left[\ln(3n-2i)-\ln(n+2i)\right]=$ ____.

3. 甲、乙两人赛跑，图中实线和虚线分别为甲和乙的速度曲线（单位：$\mathrm{m/s}$），三块阴影部分面积依次为 $15,20,10$，且当 $t=0$ 时，甲在乙前面 $10\ \mathrm{m}$ 处，则在 $[0,t_{3}]$ 上，甲、乙相遇的次数为（）.

4. 设 $M=\int_{-\frac12}^{\frac12}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right)\mathrm{d}x$，$N=\int_{0}^{1}\frac{(1+x)\ln^{2}(1+x)}{x^{2}}\mathrm{d}x$，$K=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+x}\mathrm{d}x$，则（）. (A) $M>N>K$　(B) $N>K>M$　(C) $K>M>N$　(D) $K>N>M$

5. 设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 内的正值连续函数，且 $f'(x)<0$，$g(x)=\int_{1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $g\left(\frac12\right)$ 和 $g\left(\frac32\right)$ 的可能取值是（）. (A) $-2,1$　(B) $-2,3$　(C) $2,-1$　(D) $2,-3$

6. 设 $f(x)=\begin{cases}x\ln x,&x>0,\\ x^{2}+x,&x\leqslant0,\end{cases}$ 若 $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\ (a<b)$ 取得最小值，则 $(a,b)=$（）. (A) $(-1,1)$　(B) $(-1,2)$　(C) $(0,1)$　(D) $(1,2)$

7. 设函数 $g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，若在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内 $g'(x)\geqslant0$，则对任意的 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，有（）. (A) $\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}g(t)\mathrm{d}t\geqslant\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}g(\sin t)\mathrm{d}t$ (B) $\int_{x}^{1}g(t)\mathrm{d}t\leqslant\int_{x}^{1}g(\sin t)\mathrm{d}t$ (C) $\int_{x}^{1}g(t)\mathrm{d}t\geqslant\int_{x}^{1}g(\sin t)\mathrm{d}t$ (D) $\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}g(t)\mathrm{d}t\leqslant\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}g(\sin t)\mathrm{d}t$

8. 若 $\sqrt{1-x^{2}}$ 是 $xf(x)$ 的一个原函数，则 $\int_{0}^{1}\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=$（）. (A) $-1$　(B) $\frac{\pi}{4}$　(C) $-\frac{\pi}{4}$　(D) 1

9. 已知函数 $f$ 是 $F(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{3}}\mathrm{d}t$ 的反函数，则 $f'(0)=$ ____.

10. 设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，任意的 $x\in(-\infty,+\infty)$ 均有 $f(x+1)-f(x)=f(1)$，$f\left(\frac12\right)=0$，则以下是偶函数的是（）. (A) $\int_{0}^{x}\left[\sin f(t)+f(t+1)\right]\mathrm{d}t$ (B) $\int_{0}^{x}\left[\sin f'(t)+f'(t+1)\right]\mathrm{d}t$ (C) $\int_{0}^{x}\left[\cos f(t)+f(t+2)\right]\mathrm{d}t$ (D) $\int_{0}^{x}\left[\cos f'(t)+f'(t+2)\right]\mathrm{d}t$

11. 设 $f(x)$ 是实数集上连续的偶函数，在 $(-\infty,0)$ 上有唯一零点 $x_{0}=-1$，且 $f'(x_{0})=1$，则函数 $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的严格单调增区间是（）. (A) $(-\infty,-1)$　(B) $(-1,+\infty)$　(C) $(-1,1)$　(D) $(1,+\infty)$

12. 设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调连续，$f(0)=1,\ f(2)=2$，且对任意 $x_{1},x_{2}\in[0,2]$ 总有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，$P=\int_{1}^{2}g(x)\mathrm{d}x$，则（）. (A) $3<P<4$　(B) $2<P<3$　(C) $1<P<2$　(D) $0<P<1$

13. 下列反常积分中，发散的是（）. (A) $\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}\mathrm{d}x$　(B) $\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-x^{2}}\mathrm{d}x$　(C) $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$　(D) $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$

14. 若反常积分 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)x^{1-p}}\mathrm{d}x$ 收敛，则（）. (A) $p<1$　(B) $p>1$　(C) $0<p<1$　(D) $0\leqslant p<1$

15. 下列反常积分收敛的是（）. (A) $\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x$　(B) $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x$　(C) $\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$　(D) $\int_{0}^{1}\frac{x}{\ln^{2}(1+x)}\mathrm{d}x$

16. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right]=$ ____.

17. $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+9i^{2}}=$ ____.

18. 定积分 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 的值满足（）. (A) $0\leqslant I\leqslant\frac12$　(B) $\frac12\leqslant I\leqslant\frac{\sqrt2}{2}$　(C) $\frac{\sqrt2}{2}\leqslant I\leqslant1$　(D) $1\leqslant I\leqslant2\sqrt2$

19. 设 $f(x)\neq0$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，则下列函数为奇函数的是（）. (A) $x^{3}\int_{0}^{x}f'(t)\mathrm{d}t$　(B) $\int_{0}^{x}f(-t)\mathrm{d}t$　(C) $\int_{0}^{x}[f'(t)+f(t)]\mathrm{d}t$　(D) $\int_{0}^{x}|f(t)|\mathrm{d}t$

20. 设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{1+x^{2}}\cos^{5}x\,\mathrm{d}x$，$N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^{2}\sin x+\sin^{2}x\cos x)\mathrm{d}x$，$P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{3}x-\cos^{4}x)\mathrm{d}x$，则有（）. (A) $N<P<M$　(B) $M<P<N$　(C) $N<M<P$　(D) $P<M<N$

21. 已知 $x^{2}e^{x}$ 是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一个原函数，则 $\int f(\ln x)\mathrm{d}x=$ ____.

22. 设 $F(x)=\int_{0}^{x}(t-[t])\mathrm{d}t$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $F_{-}'(1)-F_{+}'(1)=$ ____.

23. 下列命题中不成立的是（）. (A) 若 $f(x)$ 连续，$x\in[a,b]$，则 $\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 必为 $f(x)$ 的原函数 (B) 若 $f(x)$ 可积，$x\in[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在原函数 (C) 若 $f(x)$ 连续且为奇函数，$x\in[-a,a]$，则 $\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$ (D) 若 $f(x)$ 连续，$T$ 为其周期，则 $\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x$

24. 设 $f(x-5)=\frac{4}{x^{2}-10x}$，则 $\int_{0}^{4}f(2x+1)\mathrm{d}x$（）. (A) 为反常积分，且发散　(B) 为反常积分，且收敛 (C) 不是反常积分，且其值为 10　(D) 不是反常积分，且其值为 $\frac{\pi}{4}$

25. 下列表达式中正确的是（）. (A) $\int_{\pi}^{2\pi}|\sin x|\mathrm{d}x\leqslant\int_{\pi}^{2\pi}\sin^{2}x\,\mathrm{d}x$ (B) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{1+\cos x}\mathrm{d}x<\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x}{1+x^{4}}+\frac{1}{1+x^{2}}\right)\mathrm{d}x$ (C) $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leqslant\int_{c}^{d}f(x)\mathrm{d}x$，$[a,b]\subset[c,d]$，$f(x)$ 连续，$x\in[c,d]$ (D) $\int_{-1}^{1}|f(x)|\mathrm{d}x=2\int_{0}^{1}|f(x)|\mathrm{d}x$，$f(x)$ 连续，$x\in[-1,1]$