第9章 一元函数积分学的计算（基础篇）#

1. 计算下列不定积分： (1) $\int\cos^{3}x\,\mathrm{d}x$；　(2) $\int\sin^{3}x\,\mathrm{d}x$；　(3) $\int\sec x\,\mathrm{d}x$；　(4) $\int\sec^{3}x\,\mathrm{d}x$； (5) $\int\frac{1}{a^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x\ (a\neq0)$；　(6) $\int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\mathrm{d}x\ (a\neq0)$；　(7) $\int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}\mathrm{d}x\ (a\neq0)$； (8) $\int\frac{1}{a^{2}+(x+b)^{2}}\mathrm{d}x\ (a\neq0)$；　(9) $\int\frac{1}{a^{2}-(x+b)^{2}}\mathrm{d}x\ (a>0)$；　(10) $\int\frac{1}{(x+b)^{2}-a^{2}}\mathrm{d}x\ (a>0)$； (11) $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\mathrm{d}x\ (a>0)$；　(12) $\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\mathrm{d}x\ (a>0)$；　(13) $\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\mathrm{d}x\ (a>0)$； (14) $\int\csc^{3}x\,\mathrm{d}x$；　(15) $\int\tan^{2}x\,\mathrm{d}x$；　(16) $\int\tan^{3}x\,\mathrm{d}x$；　(17) $\int\tan^{4}x\,\mathrm{d}x$；　(18) $\int\cot^{3}x\,\mathrm{d}x$； (19) $\int\frac{\cos x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$；　(20) $\int\frac{1}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}\mathrm{d}x$；　(21) $\int\frac{1}{\sin2x}\mathrm{d}x$；　(22) $\int\frac{1}{\cos2x}\mathrm{d}x$； (23) $\int\frac{1}{a+b\cos x}\mathrm{d}x\ (a>0,b>0)$；　(24) $\int\frac{1}{a+b\sin x}\mathrm{d}x\ (a>0,b>0)$。

2. 计算不定积分 $\int\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{x}-1}}\mathrm{d}x$。

3. 计算不定积分 $\int\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\mathrm{d}x\ (x>0)$。

4. 计算不定积分 $\int e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1}\,\mathrm{d}x$。

5. 定积分 $\int_{0}^{1}e^{-\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$（）. (A) 2　(B) $2-\frac{4}{e}$　(C) $1-\frac{2}{e}$　(D) $1-\frac{1}{e}$

6. $\int_{0}^{1}\frac{4x-3}{x^{2}-x+1}\mathrm{d}x=$ ____.

7. $\int_{0}^{1}\frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm{d}x=$ ____.

8. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta=$ ____.

9. 设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=x\ln x$，$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，则 $\int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=$ ____.

10. 设 $y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$，则 $\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt2}{2}}xy\,\mathrm{d}y=$ ____.

11. 若 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int_{1}^{\sqrt2}\frac{1}{x^{2}}f(\ln x)\mathrm{d}x=$（）. (A) $-\frac14$　(B) $-1$　(C) $\frac14$　(D) 1

12. 若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$g(x)=\int_{0}^{2x}f\left(x+\frac{t}{2}\right)\mathrm{d}t$，则当 $x\to0^{+}$ 时，$g(x)$ 是 $x$ 的（）. (A) 高阶无穷小　(B) 低阶无穷小　(C) 等价无穷小　(D) 同阶但非等价无穷小

13. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$，$\varphi(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x}tf(t)\mathrm{d}t,&x\neq0,\\ 0,&x=0,\end{cases}$ 则 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处（）. (A) 不连续　(B) 连续但不可导　(C) 可导但 $\varphi'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续　(D) 可导且 $\varphi'(x)$ 在 $x=0$ 处连续

14. 若连续周期函数 $y=f(x)$（不恒为常数），对任何 $x$ 恒有 $\int_{-1}^{x+6}f(t)\mathrm{d}t+\int_{x-3}^{4}f(t)\mathrm{d}t=14$ 成立，则 $f(x)$ 的周期是（）. (A) 7　(B) 8　(C) 9　(D) 10

15. 设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上是连续的偶函数，$a>0$，$g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t|\cdot f(t)\mathrm{d}t$，则在 $[-a,a]$ 上（）. (A) $g(x)$ 是单调递增函数　(B) $g(x)$ 是单调递减函数　(C) $g(x)$ 是偶函数　(D) $g(x)$ 是奇函数

16. 若 $F(x)=\int_{-\pi}^{\pi}|x-t|\sin t\,\mathrm{d}t$，则 $F'(0)=$（）. (A) $-4$　(B) $-2$　(C) 2　(D) 4

17. 若函数 $y(x)=\int_{2}^{x^{2}}e^{-\sqrt{t}}\mathrm{d}t$，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}[y(x)]}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{x=-1}=$（）. (A) 0　(B) 1　(C) $4e^{-1}$　(D) $4e$

18. 已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^{3}}\mathrm{d}t$，则 $\int_{0}^{1}xf(x)\mathrm{d}x=$ ____.

19. 设连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t=xe^{x}$，则 $\int_{1}^{+\infty}\frac{f(\ln x)}{x}\mathrm{d}x=$ ____.

20. 设 $a_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d}x\ (n=0,1,2,\cdots)$，则 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}=$ ____.

21. $\int_{\sqrt5}^{6}\frac{1}{\sqrt{|x^{2}-9|}}\mathrm{d}x=$ ____.

22. $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|e^{-x^{2}}\mathrm{d}x=$ ____.

23. 设 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\cdot x$，且 $\int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x=a$，则 $a$ 等于（）. (A) 2　(B) 1　(C) 0　(D) $-1$

24. $\int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{1+2^{\frac1x}}\right)'\mathrm{d}x=$ ____.

25. $\int_{-\frac12}^{\frac12}\frac{|x|(\arcsin x+\arccos x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=$ ____.

26. 积分 $I=\int_{1}^{\frac32}\frac{(1-x)\arcsin(1-x)}{\sqrt{2x-x^{2}}}\mathrm{d}x=$ ____.

27. 若 $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+x^{3}\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$，则 $f(x)=$ ____.

28. $\int_{-1}^{1}\left[x^{3}\cos x+\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]\mathrm{d}x=$ ____.

29. 设 $f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\cos t}{1+\sin^{2}t}\mathrm{d}t$，则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{f'(x)}{1+f^{2}(x)}\mathrm{d}x=$（）. (A) $-\frac{\pi}{4}$　(B) $-\arctan\frac{\pi}{4}$　(C) $\frac{\pi}{4}$　(D) $\arctan\frac{\pi}{4}$

30. 设 $\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，$f(x)=x^{3}e^{-x^{2}}+\frac{1}{x(1+x)}\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$，则 $\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=$（）. (A) $\frac{1}{1-\ln2}$　(B) $\frac{1}{\ln2}$　(C) $\frac{e}{1-\ln2}$　(D) $\frac{1}{(1-\ln2)e}$

31. 设 $\alpha(x)=\int_{0}^{x}tf(t)\mathrm{d}t,\ \beta(x)=\int_{0}^{x}xf(t)\mathrm{d}t,\ f(x)>0$，且 $f'(x)=o(x)\ (x\to0^{+})$，则当 $x\to0^{+}$ 时，$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的（）. (A) 高阶无穷小　(B) 低阶无穷小　(C) 等价无穷小　(D) 同阶但非等价无穷小

32. 设函数 $f(x)$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 都可导，且有 $\int_{2}^{f(x)}f^{-1}(t)\mathrm{d}t=\frac13 x^{\frac32}-9$，则 $f(x)=$（）. (A) $\sqrt{x}-1$　(B) $\sqrt{x}+1$　(C) $2\sqrt{x}-1$　(D) $2\sqrt{x}+1$

33. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的导数，则 $\lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{4a^{2}}\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)]\mathrm{d}t=$（）. (A) 0　(B) $f'(0)$　(C) $\frac14 f'(0)$　(D) 不存在

34. 设 $f(x)=\int_{1}^{\sqrt{x}}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t$，求 $I=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$。

35. $\int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^{2}+2x-1}}=$ ____.

36. $\int_{0}^{+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{2}\mathrm{d}x=$ ____.