第11章 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式（基础篇）#

1. 设 $a>0$，则在 $[0,a]$ 上方程 $\int_{0}^{x}\sqrt{4a^{2}-t^{2}}\mathrm{d}t+\int_{a}^{x}\frac{1}{\sqrt{4a^{2}-t^{2}}}\mathrm{d}t=0$ 根的个数为（）. (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 3

2. 当 $x\geqslant0$ 时，函数 $f(x)$ 可导，有反函数 $g(x)$，且恒等式 $\int_{1}^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=x^{2}-1$ 成立，则函数 $f(x)=$（）. (A) $2x+1$　(B) $2x-1$　(C) $x^{2}+1$　(D) $x^{2}$

3. 设 $S(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，其中 $f(x)=|\arcsin(\sin x)|$。 (1) 写出 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的表达式； (2) 计算 $\lim_{x\to+\infty}\frac{S(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}$。

4. 设 $f(x)$ 连续，证明：$\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{t}f(u)\mathrm{d}u\right]\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}f(t)(x-t)\mathrm{d}t$。

5. 设 $f(x),g(x)$ 连续，$x\in[a,b]$，证明至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)\int_{\xi}^{b}g(x)\mathrm{d}x=g(\xi)\int_{a}^{\xi}f(x)\mathrm{d}x$。

6. 证明：$\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{4}}=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{4}}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt2}{4}\pi$。

7. 已知函数 $f(x),g(x)$ 可导，且 $f'(x)>0,\ g'(x)<0$，则（）. (A) $\int_{-1}^{0}f(x)g(x)\mathrm{d}x>\int_{0}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ (B) $\int_{-1}^{0}|f(x)g(x)|\mathrm{d}x>\int_{0}^{1}|f(x)g(x)|\mathrm{d}x$ (C) $\int_{-1}^{0}f[g(x)]\mathrm{d}x>\int_{0}^{1}f[g(x)]\mathrm{d}x$ (D) $\int_{-1}^{0}f[f(x)]\mathrm{d}x>\int_{0}^{1}g[g(x)]\mathrm{d}x$

8. 设 $f(x),g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则使得 $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x\int_{0}^{1}g(x)\mathrm{d}x\geqslant\int_{0}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 成立的条件是在 $[0,1]$ 上（）. (A) $f(x),g(x)$ 均为增函数　(B) $f(x),g(x)$ 均为减函数 (C) $f(x)$ 为减函数，$g(x)$ 为增函数　(D) $f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数

9. 设 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$，证明：当 $x\in(a,b)$ 时，$|f(x)|\leqslant\frac12\int_{a}^{b}|f'(x)|\mathrm{d}x$。

10. 设 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=0$，证明：

其中 $M=\max_{0\leqslant x\leqslant1}|f'(x)|$。

11. 设 $f(x)=\int_{x}^{x+1}\sin u^{2}\,\mathrm{d}u$，证明：当 $x>0$ 时，有 $|f(x)|\leqslant\frac1x$。