第12章 一元函数积分学的应用（三）——物理应用（基础篇）#

1. 设沿 $y$ 轴上的区间 $[0,1]$ 放置一长度为 1 且线密度为 $\rho$ 的均匀细杆，在 $x$ 轴上 $x=1$ 处有一单位质点，则该细杆对此质点的引力（$G$ 为引力常量）沿 $x$ 轴正向的分力为 ____.

2. 边长为 $a$ 的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，如图所示。记水的密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$，则其一侧所受的静水压力为 ____.

3. 将地面上质量为 1 的物体铅直向上举高，记地球半径为 $R$，质量为 $M$，引力常数为 $G$，则物体摆脱地球引力至少需做功 ____.

4. 有一内表面为旋转抛物面的水缸，其深为 $a$（单位：米），缸口直径为 $2a$（单位：米），缸内盛满了水，设水的密度为 $\rho$（单位：千克/立方米）。若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出，问： (1) 共需多少时间？ (2) 需做多少功？

5. 在一个高为 $1\ \mathrm{m}$ 的圆柱形容器内储存某种液体，并将容器横放。底面圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=1$（单位：$\mathrm{m}$）。如果容器内存满了液体后，以 $0.2\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}$ 的速率将液体从容器顶端抽出。 (1) 当液面在 $y=0$ 时，求液面下降的速率； (2) 如果 $1\ \mathrm{m}^{3}$ 液体所受重力为 $1\ \mathrm{N}$，求抽完全部液体需做多少功？

6. 设有一个内表面为旋转抛物面的容器，其深为 $a$ 米，容器口直径为 $2a$ 米，若以每秒 $Q$ 立方米的速率往容器内注水，求： (1) 容器的容积及内表面的面积； (2) 当容器中水深为 $\frac12 a$ 米时，水面上升的速率。

7. 以 $yOz$ 面上的平面曲线段 $y=f(z)\ (z\geqslant0)$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成旋转曲面与 $xOy$ 面围成一个无上盖容器（见图），现以 $3\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ 的速率把水注入容器内，水面的面积以 $\pi\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}$ 的速率增大。已知容器底面积为 $16\pi\ \mathrm{cm}^{2}$，求曲线 $y=f(z)$ 的方程。

8. 设长轴与短轴分别为 $2a$ 及 $2b$ 的半椭圆形薄板铅直沉入水中，其短轴与水面平行且位于水面下 $c$ 处，记水的密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$。求水对薄板的压力。