第13章 多元函数微分学（基础篇）#

1. 设 $z=\arctan[xy+\cos(x+y)]$，则 $\mathrm{d}z\big|_{(0,\pi)}=$ ____.

2. 设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\cos y-\cos x)+xy$，则 $\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\sin y}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=$ ____.

3. 设函数 $f(u)$ 可导，$z=yf(x^{y^{2}})$，则 $2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$ ____.

4. 设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z+2y\ln z-\arctan(xy)=1$ 确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ ____.

5. 设 $F(x,y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t)e^{t}\mathrm{d}t$，则 $\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}=$ ____.

6. 设函数 $f(x,\sin x)=x+\sin x$，$f_{x}'(x,y)=1+2\cos x$，则 $\left.f_{y}'(x,y)\right|_{y=\sin x}=$ ____.

7. 设函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^{2}[f(x,y)]}{\partial x\partial y}=1$，$f(0,y)=\sin y$，$f(x,0)=\sin x$，则 $f\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)=$ ____.

8. 设 $f\left(x+y,\frac{x}{y}\right)=x^{2}-xy+y^{2}$，则 $f_{x}'(x,y)=$ ____.

9. 设函数 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$，求 $\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial x}$。

10. 设 $Q(x,y)=\frac{x}{y^{2}},\ y>0$，$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 是某二元函数的全微分，则 $P(x,y)$ 可取为（）. (A) $y^{2}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$　(B) $x^{2}-\frac1y$　(C) $\frac{1}{y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$　(D) $\frac{1}{x^{2}}-\frac1y$

11. 函数 $z=x^{y}$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d}z=$ ____.

12. 设 $f$ 具有二阶连续偏导数，且 $u=f(x^{2}+y,xy)$，则 $u_{xy}''=$ ____.

13. 设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x,y)=xy-f\left(\frac{y}{x},\frac{x}{y}\right)$，求

14. 设函数 $z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)$，其中 $f(u)$ 可导，且满足 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^{2}(\ln y-\ln x)$，求： (1) $f(x)$ 的表达式； (2) $f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

15. 设 $f(u)=\ln u$，$u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$，求 $\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial z^{2}}$。

16. 设函数 $u=f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，作变量代换 $\xi=x,\ \eta=y-x$，将方程

化为以 $\xi,\eta$ 为自变量的方程。

17. 设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $F\left(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，且 $F(u,v)$ 具有连续偏导数，求 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}$。

18. 设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内有一阶偏导数。若 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上的值均为 0，且 $\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial x}+\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial y}=f(x,y)$，则 $f(x,y)$（）. (A) 在 $D$ 内有正的最大值　(B) 在 $D$ 内有负的最小值 (C) 只在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上取到最大值　(D) 在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上可以取到最小值

19. 设 $f(x,y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}>0$ 与 $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0$，则（）. (A) $f(x,y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的内部 (B) $f(x,y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的边界上 (C) $f(x,y)$ 的最小值点在 $D$ 的内部，最大值点在 $D$ 的边界上 (D) $f(x,y)$ 的最大值点在 $D$ 的内部，最小值点在 $D$ 的边界上

20. 设 $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-(x+y)^{2}$，且 $(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 为函数 $f(x,y)$ 的两个驻点，则（）. (A) $f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极大值　(B) $f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极小值 (C) $f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,-1)$ 是极小值　(D) $f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,-1)$ 是极大值

21. 设 $e^{x}+y^{2}+|z|=3$，其中 $x,y,z$ 为实数，若 $e^{x}y^{2}|z|\leqslant k$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 ____.

22. 求函数 $f(x,y)=(y-x)(y-x^{2})$ 的极值。

23. 求函数 $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$ 的极值。

24. 求函数 $f(x,y)=x^{3}-3xy-y^{2}-y-9$ 的极值。

25. 求函数 $f(x,y)=xy$ 在约束条件 $x+y=2$ 下的极值。

26. 求 $f(x,y)=x^{4}-\frac{1}{12}x^{6}-2x^{2}y-\frac12 y^{2}$ 的极值点。

27. 设 $\frac{\partial f}{\partial x}=(x^{2}+y^{2}-4x+4)e^{x}$，$\frac{\partial f}{\partial y}=2ye^{x}$，$f(0,0)=0$，求： (1) $f(x,y)$ 的表达式； (2) $f(x,y)$ 的极值。