第15章 微分方程（基础篇）#

1. 若 $f'(x)-f(x)=2xe^{x}$ 的积分曲线没有极值点，但有拐点，则 $f(x)=$（）. (A) $e^{x}(x+C),\ 1\leqslant C<2$　(B) $e^{x}(x^{2}+C),\ 1\leqslant C<2$ (C) $e^{x}(x^{2}+C),\ 0\leqslant C<1$　(D) $e^{x}(x+C),\ 0\leqslant C<1$

2. 设一曲线过点 $(e,1)$，且此曲线上任一点 $M(x,y)$ 处的法线斜率为 $\frac{-x\ln x}{x+y\ln x}$，则此曲线方程为（）. (A) $y=\frac{x}{e}+x\ln(\ln x)$　(B) $y=\frac{x}{e}+\ln(\ln x)$　(C) $y=\frac{x}{e}+x\ln x$　(D) $y=ex+x\ln(\ln x)$

3. 微分方程 $y'\sec^{2}y-\sec^{2}y-1=0$ 的通解是 ____.

4. 求微分方程 $(2x-3xy^{2}-y^{3})y'+y^{3}=0$ 的通解。

5. 求微分方程 $(1+y^{2})\mathrm{d}x+(x-\arctan y)\mathrm{d}y=0$ 的通解。

6. 设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y'+\frac{1}{x^{2}}y=2e^{\frac1x}$ 满足 $y\left(\frac12\right)=0$ 的解。 (1) 求 $y=y(x)$ 的表达式； (2) 求曲线 $y(x)$ 的斜渐近线。

7. 已知微分方程 $e^{y}=t+\frac{1}{y'}$ 满足 $y(0)=0$。 (1) 求该微分方程的特解 $y=y(t)$； (2) 设 $\begin{cases}x=\sqrt{1+t^{2}},\\ y=y(t),\end{cases}$ 计算 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{t=1}$。

8. 设曲线 $L$ 过点 $(1,1)$，$L$ 上任一点 $P(x,y)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$，且 $|PT|=|OT|$，求曲线 $L$ 的方程。

9. 设 $f(x)$ 有连续导数，$x\in[0,+\infty)$，且满足方程

求函数 $f(x)$。

10. 设 $\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)|\leqslant k$（$k$ 为常数），求微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=\varphi(x)$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y(x)$，并证明当 $x\geqslant0$ 时，有 $|y(x)|\leqslant k(1-e^{-x})$。

11. 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $2xy'-4y=2\ln x-1$ 满足条件 $y(1)=\frac14$ 的解，求曲线 $y=y(x)$ 在 $[1,e]$ 上的平均值。

12. 设曲线 $y=y(x)\ (x>0)$ 经过点 $(1,0)$，该曲线上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，求 $y(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上与 $x$ 轴所围平面图形的面积。

13. 设曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(0,4)$ 处的切线垂直于直线 $x-2y+5=0$，且该曲线满足微分方程 $y''+2y'+y=0$，则此曲线方程为（）. (A) $y=\frac92 xe^{-x}$　(B) $y=\left(4+\frac92 x\right)e^{-x}$　(C) $y=(C_{1}x+C_{2})e^{-x}$　(D) $y=2(x+2)e^{-x}$

14. 设曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点处的切线与直线 $2x+y+6=0$ 平行，而 $y(x)$ 满足微分方程 $y''-2y'+5y=0$，则此曲线的方程为（）. (A) $y=e^{x}\sin2x$　(B) $y=-e^{x}\sin2x$　(C) $y=e^{x}(\cos2x-\sin2x)$　(D) $y=e^{x}(\sin2x-\cos2x)$

15. 设 $y=y(x)$ 满足 $y''-2y'+y=0$，且 $y(0)=0,\ y'(0)=1$，则 $\int_{-\infty}^{0}y(x)\mathrm{d}x=$ ____.

16. 已知某常系数齐次线性微分方程的通解为 $y=C_{1}+e^{x}(C_{2}\cos2x+C_{3}\sin2x)$，则该微分方程为 ____.

17. 微分方程 $4y''-12y'+9y=e^{\frac32 x}(3x^{2}+2)$ 的特解形式为（）. (A) $Ax^{2}+Bx+C+De^{\frac32 x}$　(B) $(Ax^{2}+Bx+C)e^{\frac32 x}$ (C) $x(Ax^{2}+Bx+C)e^{\frac32 x}$　(D) $x^{2}(Ax^{2}+Bx+C)e^{\frac32 x}$

18. 已知 $y_{1}=xe^{x}+e^{2x},\ y_{2}=xe^{x}+e^{-x},\ y_{3}=xe^{x}+e^{2x}-e^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为 ____.

19. 求微分方程 $y''-2y'+y=2(3x^{2}-2)e^{x}$ 的通解。

20. 求微分方程 $y''+4y'+5y=8\cos x$，当 $x\to-\infty$ 时为有界的特解。

21. 欧拉方程 $x^{2}y''+3xy'+3y=0$ 满足条件 $y(1)=0,\ y'(1)=\sqrt2$ 的解为 $y=$ ____.