第18章 多元函数积分学（基础篇）#

1. 设 $\Omega=\{(x,y,z)\mid\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leqslant z\leqslant1\}$，则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\overline{z}=$ ____.

2. 设 $\Omega=\{(x,y,z)\mid x^{2}\leqslant y\leqslant x,\ 0\leqslant z\leqslant2-x-y\}$，则 $\iiint_{\Omega}xe^{y+z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$ ____.

3. 设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+z)y\,\mathrm{d}s=$（）. (A) $2\pi$　(B) $-\pi$　(C) $-\frac{\pi}{3}$　(D) $-\frac{2\pi}{3}$

4. 锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被抛物柱面 $z^{2}=2x$ 截下的曲面的面积为 ____.

5. 设 $a,b$ 为实数，函数 $z=1+ax^{2}+by^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=2i+4j$ 的方向导数最大，且最大值为 $2\sqrt5$。 (1) 求 $a,b$； (2) 求曲面 $z=1+ax^{2}+by^{2}$ 被曲面 $z=2(x^{2}+3y^{2})$ 所截部分的面积。

6. 设平面曲线 $L:f(x,y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B$，$f(x,y)$ 有一阶连续偏导数，$\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧，设

则（）. (A) $I_{1}>I_{3}>I_{2}$　(B) $I_{2}>I_{3}>I_{1}$　(C) $I_{3}>I_{1}>I_{2}$　(D) $I_{3}>I_{2}>I_{1}$

7. 使得 $\oint_{L}(2y^{3}-3y)\mathrm{d}x-x^{3}\mathrm{d}y$ 的值最大的平面正向边界曲线 $L$ 为（）. (A) $3x^{2}+y^{2}=1$　(B) $2x^{2}+y^{2}=1$　(C) $x^{2}+3y^{2}=1$　(D) $x^{2}+2y^{2}=1$

8. 设 $x>0$，$I=\int_{L}x(1+y\sin x)\mathrm{d}x+\frac{f(x)}{x}\mathrm{d}y$ 与路径 $L$ 无关，$f(x)$ 有连续导数且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$。当 $L$ 是从点 $A\left(\frac{\pi}{2},1\right)$ 到点 $B(\pi,0)$ 的任一曲线时，$I=$ ____.

9. 设 $D\subset\mathbb{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_{D}(1-x^{2}-y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 取得最大值的积分域记为 $D_{1}$。 (1) 求 $I(D_{1})$ 的值； (2) 计算 $\oint_{\partial D_{1}}\frac{(xe^{x^{2}+2y^{2}}+y)\mathrm{d}x+(2ye^{x^{2}+2y^{2}}-x)\mathrm{d}y}{x^{2}+2y^{2}}$，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界。

10. 设 $\Sigma$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3y^{2}-3z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分

11. 设 $\Sigma$ 为空间区域 $\{(x,y,z)\mid x^{2}+2y^{2}\leqslant1,\ 0\leqslant z\leqslant1\}$ 表面的外侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma}x^{2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^{2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

12. 设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+2z^{2}=1\ (z\geqslant0)$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma}\sqrt{1-x^{2}-2z^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

13. 设 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=1$ 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，$f(x)$ 连续，则 $\iint_{\Sigma}[f(xz)+x]\mathrm{d}y\mathrm{d}z+[2f(xz)+y]\mathrm{d}z\mathrm{d}x+[f(xz)+z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ ____.

14. 计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma}yz\,\mathrm{d}x-zx\,\mathrm{d}y+3xy\,\mathrm{d}z$，其中 $\Gamma$ 为曲线 $\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2y=0,\\ 2y-z+1=0,\end{cases}$ 从 $z$ 轴正向往下看，$\Gamma$ 为逆时针方向。

15. 设曲面 $\Sigma$ 是由直线段

绕 $z$ 轴旋转而得。$\Omega$ 是 $\Sigma$ 与平面 $z=0,\ z=1$ 所围成的立体，其体密度为 $\mu(x,y,z)=\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}}$，求： (1) 曲面 $\Sigma$ 的直角坐标方程； (2) $\Omega$ 的质量。